%----------------- TEXT -----------------
\subsection*{1.22. French}

Si $k = \mathfrak{e}$, tout fibré vectoriel $V$ sur $X$ peut se prolonger en un fibré vectoriel sur la courbe complétée $\bar{X}$, si $V_1$ et $V_2$ sont deux prolongements de $V$, et si $t$ est une uniformisante en un point $x_\infty \in \bar{X} - X$, alors il existe $N$ tel que dans un voisinage de $x_\infty$, les sous-faisceaux $V_1$ et $V_2$ de l'image directe de $V$
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vérifient
\[
t^N V_1 \subset V_2 \subset t^{-N} V_1.
\]

Le fibré $V^{\mathrm{an}}$ est donc canoniquement muni d'une structure méromorphe en tout $x_\infty \in \bar{X} - X$.

Si $V$ est muni d'une connexion, on vérifie aussitôt sur 1.12 que $(V,\nabla)$ est régulier en $x_\infty \in \bar{X} - X$ au sens 1.21 si et seulement si $(V^{\mathrm{an}},\nabla)$ est régulier en $x_\infty$ au sens 1.14.

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\subsection*{1.22. English}
If $k = \mathfrak{e}$, every vector bundle $V$ on $X$ can be extended to a vector bundle on the completed curve $\bar{X}$. If $V_1$ and $V_2$ are two such extensions of $V$, and if $t$ is a uniformizer at a point $x_\infty \in \bar{X} \setminus X$, then there exists an integer $N$ such that, in a neighborhood of $x_\infty$, the subsheaves $V_1$ and $V_2$ of the direct image of $V$ satisfy
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\[
t^N V_1 \subset V_2 \subset t^{-N} V_1.
\]

Thus the analytification $V^{\mathrm{an}}$ is canonically equipped with a meromorphic structure at every point $x_\infty \in \bar{X} \setminus X$.

If $V$ is endowed with a connection, one immediately checks using Theorem 1.12 that $(V,\nabla)$ is regular at $x_\infty \in \bar{X} \setminus X$ in the sense of Definition 1.21 if and only if $(V^{\mathrm{an}},\nabla)$ is regular at $x_\infty$ in the sense of Definition 1.14.
